數(shù)學(xué)模型是如何描繪感染病的？別擔(dān)憂，數(shù)學(xué)沒學(xué)好也能看懂

在人類與感染病作戰(zhàn)斗的冗長(zhǎng)歷程中，除了在一線救死扶傷的醫(yī)師，還有1個(gè)特殊的群體為遏止疾病延伸做出了主要的奉獻(xiàn)，那就是數(shù)學(xué)家。

在大多數(shù)人印象中，數(shù)學(xué)是抽象而艱澀的，仿佛和公共衛(wèi)生完全搭不上關(guān)系。事實(shí)上，大家在面臨感染病時(shí)碰到的問題，例如為甚麼接觸過抱病者的人須要被隔離、疫情暴發(fā)1個(gè)月后有多少人被傳染、拐點(diǎn)甚麼時(shí)候可能到來，都或多或少可以從數(shù)學(xué)模型的角度來做出預(yù)判妥協(xié)讀。也正是依附數(shù)學(xué)家針對(duì)感染病抽象化的研發(fā)，人們針對(duì)感染病的傳遞形式和嚴(yán)重風(fēng)險(xiǎn)有了更為深刻的認(rèn)知。

對(duì)感染病建模的歷程

用數(shù)學(xué)模型研發(fā)感染病的作法，最早可以追溯到18時(shí)代初。當(dāng)時(shí)候天花病毒正在暴虐歐洲，人們發(fā)掘東方傳入的人痘接種術(shù)仿佛可能治愈這類疾病，但接種后仍有較高的滅亡率，這引發(fā)了大數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利（Johann Bernoulli）的注重。伯努利是流體力學(xué)的祖師爺，同時(shí)也學(xué)過一點(diǎn)醫(yī)學(xué)，據(jù)說了天花接種的療法后，他便開始揣摩如何用數(shù)學(xué)去描繪天花的傳遞以及接種的作用。

數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利 | Wikimedia Commons

受局限世紀(jì)，伯努利的思想較為樸實(shí)，他將人群分成傳染者與未傳染者，傳染者既有能夠治愈成為未傳染者，也會(huì)因病滅亡。伯努利的高明之處在于，他參考了人的年紀(jì)也就是時(shí)間原因，假設(shè)疾病治愈率與研發(fā)人群的年紀(jì)段有關(guān)，以此創(chuàng)建了數(shù)學(xué)方程。

伯努利的模型相似于后來的SI模型是最為簡(jiǎn)潔的感染病模型之一 | 考慮資料[3]

經(jīng)過一番計(jì)算研發(fā)，伯努利得出論斷：雖然有絕對(duì)危害，人痘接種在統(tǒng)計(jì)上仍舊能讓人的壽命延長(zhǎng)3年左右。

固然以如今的目光看，伯努利的研發(fā)一點(diǎn)也不謹(jǐn)嚴(yán)，得出的論斷也是顯而易見的（接種疫苗有助于操控疾病傳遞），人痘接種術(shù)在牛痘疫苗顯現(xiàn)后也幾乎銷聲匿跡，但伯努利是第1個(gè)嘗試用信息和方程去解析感染病傳遞形勢(shì)、判定操控手段有效性的數(shù)學(xué)家，這類科學(xué)頭腦在那個(gè)體類完全被感染病支配的世紀(jì)顯得尤為寶貴，直到今日仍舊是用數(shù)學(xué)方式研發(fā)感染病的最根本想法。

牛痘疫苗為人類殲滅天花做出了主要奉獻(xiàn) | The Conversation

100多年后的20時(shí)代初，用數(shù)學(xué)模型研發(fā)感染病的方式（后來成長(zhǎng)為一類叫“數(shù)理盛行病學(xué)”的學(xué)科）迎來了飛速成長(zhǎng)，這較大程度上要?dú)w功于蘇格蘭軍醫(yī)麥肯德里克（Anderson Gray McKendrick）和生物化學(xué)家威廉·克馬克（William Kermack）。

提出SIR模型的麥肯德里克和克馬克 | 考慮資料[4]

麥肯德里克曾在印度退役，那時(shí)印度鼠疫橫行，奪去了數(shù)十萬人的生命。但是與大多數(shù)醫(yī)師研討醫(yī)術(shù)不同，麥肯德里克居然“不務(wù)正業(yè)”，把許多心思放在了研發(fā)數(shù)學(xué)方程上，并發(fā)掘鼠疫的傳染人數(shù)形勢(shì)和數(shù)學(xué)的某類函數(shù)曲線十分相像。

從印度回國(guó)后，他與生物化學(xué)家威廉·克馬克（William Kermack）協(xié)作，開始對(duì)鼠疫暴發(fā)的抱病人數(shù)、患者生存天數(shù)等信息進(jìn)行解析，終極提出了數(shù)理盛行病學(xué)中里程碑式的模型：SIR模型。直到今日，絕大多數(shù)從數(shù)學(xué)角度解析感染病的研發(fā)都或多或少有這個(gè)模型的影子。

西班牙流感等感染病在20時(shí)代初暴虐世界 導(dǎo)致數(shù)以億計(jì)的傷亡 | Wikimedia Commons

怎樣用SIR模型描繪感染??？

SIR模型的根本概念并非難，縱然完全沒學(xué)過數(shù)學(xué)也能看懂：

S代表Susceptible，易感者，也就是能夠被感染但還沒有傳染的人；

I代表Infected，傳染者，即已然被感染但尚未滅亡的人；

R代表Removed，移除者，他們有能夠被傳染后全好了，也有能夠是因病滅亡。

固然還有1個(gè)樣件人數(shù)不變的如果，也就是易感者+傳染者+移除者的人數(shù)之和假設(shè)不變。

SIR模型表示圖 | Perception Heallth

有了如此1個(gè)數(shù)學(xué)模型，咱們須要研發(fā)3個(gè)群體隨時(shí)間的改變形勢(shì)——例如說，第1天有了3個(gè)傳染者，到了第10天會(huì)有多少人傳染？因全好或滅亡形成的移除者又會(huì)有多少個(gè)？

為了求出不同人群與時(shí)間的關(guān)系式，數(shù)學(xué)家引入了一組微分方程。它看起來很高難，但這個(gè)唬人的玩意兒實(shí)質(zhì)上妥協(xié)“2+x=4”是1個(gè)道理，數(shù)學(xué)家的任務(wù)就是解出這個(gè)高難方程里的S、I、R與時(shí)間t的關(guān)系函數(shù)。

SIR模型的數(shù)學(xué)方程 | 考慮資料[5]

微分方程解出來的結(jié)果不絕對(duì)能用數(shù)學(xué)式子來表示，通常來說咱們更習(xí)慣用以下如此的圖片表示SIR模型的感染形勢(shì)：橫軸代表時(shí)間，縱軸代表群體的人數(shù)。你可以很直觀的看見，I代表的傳染者數(shù)目隨時(shí)間快速增長(zhǎng)，S代表的易感者對(duì)應(yīng)變少，最終的結(jié)果是大部分被“移除”了（能夠是治愈或者是病死），不再存在傳染者。

SIR模型給出的傳遞形勢(shì) | 考慮資料[5]

SIR模型十分簡(jiǎn)單，計(jì)算得出的感染形勢(shì)也在印度鼠疫的實(shí)例中獲得了絕對(duì)程度的印證。但是SIR模型終于不過1個(gè)根基模型，它的缺點(diǎn)也是十分顯著的——不少感染病存在埋伏期，傳染后能夠在一段時(shí)間內(nèi)，身體都沒有異樣病癥，而把人群區(qū)分為三類型號(hào)，沒有參考群體內(nèi)部的差別，例如傳染者的埋伏期會(huì)因人而異；此外，部分傳染者（含蓋疑似傳染者）確診后會(huì)被隔離，感染別人的幾率比本來減低了許多。

參考到這類原因，SIR模型誕生出了SEIR、C-SEIR等多個(gè)變種模型，進(jìn)而能更為準(zhǔn)確地描繪感染病的傳遞形勢(shì)。通常來說，各類感染病都有相應(yīng)的模型進(jìn)行描繪，例如說HIV病毒，一經(jīng)傳染便終身帶有感染性，相似于現(xiàn)在伯努利提出的SI模型；而像SARS和近日的新式冠狀病毒，用SEIR模型來描繪它們的傳遞會(huì)更確切許多。

SEIR模型圖示 E代表 Exposed 埋伏者 | 考慮資料[6]

數(shù)學(xué)建模的功效

說究竟，咱們?yōu)樯觞N要想方設(shè)法搜到確切的數(shù)學(xué)模型來描繪感染病呢？最主要的1個(gè)原因是，咱們期望以此定量評(píng)價(jià)能夠的傳染人數(shù)和傳染速率，而且解析出更為有效的防疫治疫手段。

在家隔離，是大家最近最熟識(shí)的防疫手段，如何用數(shù)學(xué)模型證實(shí)隔離能有效操控疫情傳遞呢？不妨如果有1個(gè)1000人的群體，此中有1個(gè)人不幸傳染病毒后開始傳遞。在COSMOL等仿生軟件里輸入SIR模型的數(shù)學(xué)方程，可以獲得下圖的結(jié)果：未傳染病毒的人數(shù)（藍(lán)色曲線）不停下落，疫情在第5天到達(dá)頂峰，傳染者數(shù)目（綠色曲線）到達(dá)總?cè)藬?shù)將近一半。

無隔離手段下，SIR模型對(duì)病毒傳遞的模仿結(jié)果 | 考慮資料[7]

但是，假設(shè)對(duì)80%的傳染者采用隔離手段，也就是視為不再傳染其余人的移除者（赤色曲線），獲得的疫情形勢(shì)圖會(huì)爆發(fā)很顯著的改變——疫情在第6天到達(dá)頂峰，傳染者的數(shù)目只會(huì)有不到200人，顯現(xiàn)了大幅下落，這也就從數(shù)學(xué)角度證實(shí)了乖乖宅在家里針對(duì)操控感染病的主要性。[7]

對(duì)80%傳染者采用隔離手段后，SIR模型獲得模仿結(jié)果 | 考慮資料[7]

數(shù)學(xué)模型也能對(duì)不同的疾病操控手段的成效進(jìn)行評(píng)價(jià)。2013年埃博拉疫情在非洲暴發(fā)，英國(guó)開始對(duì)來自高危害國(guó)家的入境職員進(jìn)行篩查。但是有隊(duì)伍在創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型后發(fā)掘，唯獨(dú)7%的埃博拉傳染者能夠在國(guó)家邊境被發(fā)掘，加上病毒埋伏期也較為長(zhǎng)，病毒攜帶者早期能夠并沒有體現(xiàn)出所有病癥，最有效的手段還是在病毒發(fā)祥地對(duì)傳染者（以及疑似傳染者）進(jìn)行隔離來遏止病毒傳遞。正是通過如此的方法，數(shù)學(xué)模型在遏止感染病傳遞起到了越來越主要的功效。

考慮文獻(xiàn)

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_modelling_of_infectious_disease

[3]https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-si.html

[4]http://devingaffney.com/when-physicists-talk-about-cat-gifs/

[5]Luz P M , Struchiner C J , Galvani A P , et al. Modeling Transmission Dynamics and Control of Vector-Borne Neglected Tropical Diseases[J]. PLoS Neglected Tropical Diseases, 2010, 4(10):e761.

[6]Audrey M. Dorélien, Ballesteros S , Grenfell B T . Impact of Birth Seasonality on Dynamics of Acute Immunizing Infections in Sub-Saharan Africa[J]. PLOS ONE, 2013, 8.

[7]https://cn.comsol.com/blogs/analyze-the-spread-of-epidemic-diseases-with-simulation/

[8]http://news.sciencenet.cn/dz/dznews_photo.aspx?t=&id=34011

作家：矩陣星